А(,) ТОЧНЕЕ, союз + вводное слово; союз + член предложения
1. Союз + вводное слово. То же, что 'а точнее говоря, а правильнее сказать'. Если слово 'точнее' можно изъять или переместить, то оно выделяется с двух сторон знаками препинания, обычно запятыми. Если же исключить или переставить слово 'точнее' нельзя, то запятая между 'а' и 'точнее' не ставится. Подробно о пунктуации при вводных словах см. в Приложении 2.
Но я не понимал, в чем дело, и только продолжал жалко бубнить, что мой ящик – это не совсем ящик, а точнее, совсем не ящик. А. и Б. Стругацкие, Сказка о тройке. Он не шёл, а, точнее, бежал, боясь опоздать на поезд.
2. Союз + член предложения. Перед союзом 'а' обычно ставится запятая или (в зависимости от контекста) другой знак препинания.
Он передал содержание рассказа в двух словах, а точнее он пересказать не мог.